三角函数积分是高等数学中的一个重要部分，掌握三角函数积分公式是理解和应用相关知识的基础。在求解一些复杂问题时，三角函数积分公式能够起到关键作用。本文将介绍三角函数积分公式，并对必背的48个公式进行详细讲解。

一、基本三角函数积分

    ∫sin⁡xdx=−cos⁡x C\int\sinxdx=-\cosx C∫sinxdx=−cosx C∫cos⁡xdx=sin⁡x C\int\cosxdx=\sinx C∫cosxdx=sinx C

这两个公式是最基本的三角函数积分公式，需要牢记。


三角函数积分公式 积分必背48个公式 第1张


二、积化和差公式

∫sin⁡2xdx=12(x−sin⁡xcos⁡x) C\int\sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sinx\cosx) C∫sin2xdx=21​(x−sinxcosx) C∫cos⁡2xdx=12(x sin⁡xcos⁡x) C\int\cos^{2}xdx=\frac{1}{2}(x \sinx\cosx) C∫cos2xdx=21​(x sinxcosx) C∫sin⁡mxsin⁡nxdx=12[1m−nsin⁡(m−n)x−1m nsin⁡(m n)x] C\int\sinmx\sinnxdx=\frac{1}{2}[\frac{1}{m-n}\sin(m-n)x-\frac{1}{m n}\sin(m n)x] C∫sinmxsinnxdx=21​[m−n1​sin(m−n)x−m n1​sin(m n)x] C∫cos⁡mxcos⁡nxdx=12[1m−nsin⁡(m−n)x 1m nsin⁡(m n)x] C\int\cosmx\cosnxdx=\frac{1}{2}[\frac{1}{m-n}\sin(m-n)x \frac{1}{m n}\sin(m n)x] C∫cosmxcosnxdx=21​[m−n1​sin(m−n)x m n1​sin(m n)x] C∫sin⁡mxcos⁡nxdx=12[1m ncos⁡(m−n)x−1m−ncos⁡(m n)x] C\int\sinmx\cosnxdx=\frac{1}{2}[\frac{1}{m n}\cos(m-n)x-\frac{1}{m-n}\cos(m n)x] C∫sinmxcosnxdx=21​[m n1​cos(m−n)x−m−n1​cos(m n)x] C

以上公式是积化和差公式，将三角函数积分化为更简单的形式。

三、正切函数积分

∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣ C\int\tanxdx=-\ln|\cosx| C∫tanxdx=−ln∣cosx∣ C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣ C\int\cotxdx=\ln|\sinx| C∫cotxdx=ln∣sinx∣ C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x tan⁡x∣ C\int\secxdx=\ln|\secx \tanx| C∫secxdx=ln∣secx tanx∣ C∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x cot⁡x∣ C\int\cscxdx=-\ln|\cscx \cotx| C∫cscxdx=−ln∣cscx cotx∣ C

以上公式是正切函数积分公式，需要特别注意。

四、余切函数积分

∫sec⁡2xdx=tan⁡x C\int\sec^{2}xdx=\tanx C∫sec2xdx=tanx C∫csc⁡2xdx=−cot⁡x C\int\csc^{2}xdx=-\cotx C∫csc2xdx=−cotx C∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x C\int\secx\tanxdx=\secx C∫secxtanxdx=secx C∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x C\int\cscx\cotxdx=-\cscx C∫cscxcotxdx=−cscx C

以上公式是余切函数积分公式，掌握起来也很重要。

五、万能公式

∫1a2 x2dx=1aarctan⁡xa C\int\frac{1}{a^{2} x^{2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} C∫a2 x21​dx=a1​arctanax​ C∫1a2−x2dx=12aln⁡∣a xa−x∣ C\int\frac{1}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{a x}{a-x}| C∫a2−x21​dx=2a1​ln∣a−xa x​∣ C∫1x2−a2dx=12aln⁡∣x−ax a∣ C\int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x a}| C∫x2−a21​dx=2a1​ln∣x ax−a​∣ C

这些公式可称之为“万能公式”，可以用于解决较多的问题。

六、正弦余弦函数积分

∫eaxsin⁡bxdx=1a2 b2eax(asin⁡bx−bcos⁡bx) C\int\mathrm{e}^{ax}\sinbxdx=\frac{1}{a^{2} b^{2}}\mathrm{e}^{ax}(a\sinbx-b\cosbx) C∫eaxsinbxdx=a2 b21​eax(asinbx−bcosbx) C∫eaxcos⁡bxdx=1a2 b2eax(acos⁡bx bsin⁡bx) C\int\mathrm{e}^{ax}\cosbxdx=\frac{1}{a^2 b^2}\mathrm{e}^{ax}(a\cosbx b\sinbx) C∫eaxcosbxdx=a2 b21​eax(acosbx bsinbx) C

以上公式是正弦余弦函数积分，掌握起来也很重要。

七、双曲函数积分

∫sinh⁡xdx=cosh⁡x C\int\sinhxdx=\coshx C∫sinhxdx=coshx C∫cosh⁡xdx=sinh⁡x C\int\coshxdx=\sinhx C∫coshxdx=sinhx C∫tanh⁡xdx=ln⁡∣cosh⁡x∣ C\int\tanhxdx=\ln|\coshx| C∫tanhxdx=ln∣coshx∣ C∫coth⁡xdx=ln⁡∣sinh⁡x∣ C\int\cothxdx=\ln|\sinhx| C∫cothxdx=ln∣sinhx∣ C

以上是双曲函数积分公式，需要注意与三角函数积分公式的区别。

八、其他常见三角函数积分公式